Y A-T-IL UN PILOTE DANS L'AVION?

[Michel Valley]

Michel,

J'aime bien ta démonstration, qui ne passe par rien d'autre qu'une construction à partir d'intuitions !

Par contre, il manque une intuition : comment ça se fait que 1 x -1 = -1 ? Lorsque j'ai une fois -1, je peux comprendre, mais comment interpréter "moins x fois qqch" ?

PS: Mais au fait, comment comprendre que rien fois rien donne un ?

Hello!

Pour le 1x -1, vois ça comme une fois (-1), c'est plus simple...

Aussi, rien fois rien donne 0. Mais si tu parles de 0 exposant 0, c'est une fome indéterminée (ça donne rien dans le sens de pas de résultat). Comme x exposant zéro donne 1 pour n'importe quel x différent de zéro, ça peut être arrangeant de voir 0 à la 0 comme 1, mais il y aurait des incohérences pour d'autres problèmes.

[Sébastien Nadeau]

Ho, Ben, voudrais-tu parler de 0[sup]o[/sup]? Alors ce n'est pas équivalent à 0 x 0 qui est bel et bien égal à 0.

La puissance (c'est à dire le nombre de fois qu'un nombre est multiplié par lui-même) est un autre concept. Dans ce cas-ci, un nombre exposé en 0 est un nombre multiplié par lui même 0 fois. Maintenant, je vais avoir besoin d'aide pour expliquer pourquoi c'est toujours égal à 1!

Sébastien

[Michel Valley]

Je vais essayer. On a créé -1 pour avoir un nombre qui additionné à 1 donne 0. C'est l'explication financière habituelle.

Ensuite, on comprend que 1 fois n'importe quel patente donne la patente en question.

Finalement on accepte que 0 fois 22 oranges nous donne 0 orange.

Michel,

Je suis bien curieux de savoir comment tu expliques la distributivité, l'associativité, et la commutativité!

Daniel

Belle commande!

Pour ce qui est de la commutativité (dans les entiers) c'est facile. Tu prends trois fois cinq boules allignées et tu regardes perpendiculairement, tu vois 5 fois trois boules.

Pour l'associativité, tu prends trois tas de boules et peu importe dans quel ordre tu fais ça, si tu les regroupes, tu tombes sur le même nombre de boule. Exemple: un tas de 3, un tas de 4 et un tas de 5. Tu veux mettre ça ensemble. Tu mets le pacquet de trois avec le paquet de 4, ça fait un paquet de sept, tu le mets avec l'autre, ça fais douze. Tu peux aussi mettre le pacquet de 4 avec celui de 5, et ensuite prendre le paquet de 3, ça fait encore douze.

La distributivité, tu peux aussi le faire avec des boules...

Ensuite, tu te dis: Hmmm... Ça marche pour des boules, et les boules, c'est la vie...

[OxNumberNine]

Je vois ce que tu {Michel Valley] veux dire. Ça deviendrait plus intuitif, en ce sens que je reconnaitrais le "pattern" de résolution de problèmes, et que j'aurais moins de difficulté à résoudre le problème. Mais l'objet mathématique étudié ne me serait pas plus compréhensible intuitivement.

En fait, je ne parle pas vraiment de résolution mais bien du fait que les objets deviennent tes amis. Pour avoir des idées claires sur les morphismes intervenant en théorie des catégories, c'est vraiment plus simple de regarder les morphismes sur les espaces vectoriels, sur les espaces topologiques, dans les groupes, etc... C'est comme si de comprendre les cas simples formait ton cerveau à comprendre l'abstrait.

Nicolas,

Je te recommende d'utiliser l'approche suggérée par Michel si la théorie des catégories n'est pas un sujet déjà facile pour toi.

La compréhension de concepts mathématiques abstraits est quelque chose de très difficile pour la plupart des gens et il est mieux de commencer par l'étude de concepts relativement simples avant d'aller vers des concepts plus complexes. Ce n'est pas une question de techniques, mais une de comprésion intuitive des définitions et de leur implication.

Par exemple. Un homéomorphisme entre deux espaces topologiques est bijection continue de de l'un dans l'autre, dont l'inverse est aussi continue. En lisant cette définition, tu sais tout de suite que s'il existe un homéomorphisme entre deux espaces topologiques, ils ont forcément les mêmes propriétés topologiques. Tu ne sais peut-être pas encore comment le prouver, mais tu le sais que c'est vrai et la preuve demandera généralement peu d'effort pour toi, même si elle requière que tu découvres des nouvelles techniques pour en y arriver.

C'est beau les mathématiques quand cette compréhension devient naturelle. Tu comprendras lorsque tu arriveras là.

En tout cas, moi je te le souhaite.

Daniel

[benoitstpierre]

Michel et Sébastien,

Rien c'est pas zéro. J'avais en tête qqch dont on traite dans http://en.wikipedia.org/wiki/Empty_product.

***

Daniel,

En relisant la définition à tête reposée (genre) l'article sur la multiplication, je remarque la spécification suivante : on attribue à x le domaine des réels et à y les naturels (positifs). Une fois cette définition posée, les auteurs prétendent qu'on peut ensuite étendre le domaine de y aux entiers, puis aux réels. Je ne comprends pas comment ils font ça, tout comme je ne comprends pas ta passe, mais bon, c'est pas fini tant que c'est pas feni.

[François Caire]

Pour obtenir 2 x -3
0
= 2 x 0
= 2 + 2 x (0 -1)
= 2 + 2 x (-1)
= 2 + 2 + 2 x (-1 -1)
= 2 + 2 + 2 x (-2)
= 2 + 2 + 2 + 2 x (-2 -1)
= 2 + 2 + 2 + 2 x (-3)
= 6 + (2 x (-3))

J'additione (-6) de chaque côté

-6
= (-6) + 0
= (-6) + 6 + (2 x (-3))
= (-6 + 6) + (2 x (-3))
= 0 + (2 x (-3))
= (2 x (-3))

J'aime bien cette démonstration, ainsi que la preuve de -1 * -1 = 1 d'Ox parcq qu'elles utilisent seulement des additions, des soustractions et la définition de la multiplication.

[benoitstpierre]

François,

En plus de ce que tu dis, Daniel utilise aussi les propriétés des anneaux, la preuve par l'absurde et dans sa démonstration pour tout autre nombre, e.g. -2 x -3, on sent une induction de la forme "tu ajoutes des deux bords le chiffre que tu cherches". Celle-ci me paraît étrange parce qu'elle pose comme par hasard le chiffre qu'on est censé devoir chercher !

La preuve par l'absurde marche juste si tu peux inférer p de non-non p, ce qui est loin d'être toujours évident. Même si on l'admet dans le cas où il l'applique, je parlerais plus de justification que de preuve.

Je crois que Michel Vadnais voulait marquer ses réserves face aux preuves par l'absurde lorsqu'il demande si une personne qui nie son négativisme est forcément positive...

[Louis Morin]

Est-ce que parce qu'une réponse à une question pas si simple n'est pas compréhensible pour la plupart de gens (sans formation technique) elle est une mauvaise réponse?

Je dirais que oui, c'est une mauvaise réponse si donnée dans un cadre inapproprié.

Démonstration: je vais chez le médecin et je lui demande: «Qu'est-ce que j'ai, docteur?» Il sort alors son gros livre de pathologie, trouve la page traitant de mon mal et se met à me la lire de bout en bout, avec tout le jargon médical que cela implique. Certains diront que cette réponse est techniquement correcte. Mais est-ce que le médecin a répondu à ma question de façon satisfaisante? Peut-on dire qu'il a donné une bonne réponse? Non, à mon sens, car ce n'est pas du tout ce que j'avais demandé!

Autrement, puisque presque personne n'est capable de comprendre (intuitivement?!) ce qu'est un espace à 4 dimensions

J'ai toujours intuitivement (naïvement?) cru que nous vivions dans un espace à quatre dimensions (longueur, largeur, hauteur et temps)?

[Michel Valley]

J'ai toujours intuitivement (naïvement?) cru que nous vivions dans un espace à quatre dimensions (longueur, largeur, hauteur et temps)?

Oui. Ainsi, on peut imaginer un objet à 4 dimensions comme un objet en 3 dimensions qui se déforme avec le temps...

[Nicolas Fillion]

Une fois cette définition posée, les auteurs prétendent qu'on peut ensuite étendre le domaine de y aux entiers, puis aux réels. Je ne comprends pas comment ils font ça, tout comme je ne comprends pas ta passe, mais bon, c'est pas fini tant que c'est pas feni.

Peut-être que www.wikipedia.org èa l'article "arithmetization" pourrait servir... Il s<agit je crois du fait que Z, Q, et HR sont constructibles a partir de N.

[Nicolas Fillion]

Louis,

QUand j'ai ecrit "mauvais", je me suis mal exprime... je voulais dire "est fausse". Ton avis tient-il toujours?

J'ai toujours intuitivement (naïvement?) cru que nous vivions dans un espace à quatre dimensions (longueur, largeur, hauteur et temps)?

Je veux bien. Mais comment tu te le représentes? Comme l'extension d'un espace à 3 axes orthogonaux? Si quelqu'un croit intuitivement que l'espace a 3 dimensions, qu'est-ce que tui lui dis qu'il doit se représenter mentalement? Comment tu te représentes toi-même un espace à 4 dimensions? À quoi ça ressemble?
Il y a une différence entre la signification conceptuelle (mathématique dans ce cas-ci) et ce que le peut se représenter mentalement.

[Nicolas Fillion]

C'est comme si de comprendre les cas simples formait ton cerveau à comprendre l'abstrait, plus que ''t'habituer.'' (Hmm... Y'a-t-il une différence?!? En fait John von Neumann disait ''Les math., on ne les comprends pas, on s'y habitue.'')

Je crois qu'il y a une différence! :) Et j'aime bien la tournure que lui donne von Nuemann! Elle me plait vraiment! SI tu acceptes aussi cette distinction, je crois qu'on est finalement d'accord! :) Ce que tu dis et ce que j'ai dit en parlant de "reconnaissance de pattern" me semble être pas mal la même chose... Enfin un débat de réglé! :)

Je te recommende d'utiliser l'approche suggérée par Michel si la théorie des catégories n'est pas un sujet déjà facile pour toi.

Je suis effectivement d'accord que ça "m'habituera" davantage aux manipulations "classiques" de ces domaines... Sauf qu'à première vue, des topos dynamiques me sont difficiles à représenter! :) CE n'est pas que j'aie de la difficulté avec la pensée abstraite... je dirais même que j'adore ça!

Par exemple. Un homéomorphisme entre deux espaces topologiques est bijection continue de de l'un dans l'autre, dont l'inverse est aussi continue. En lisant cette définition, tu sais tout de suite que s'il existe un homéomorphisme entre deux espaces topologiques, ils ont forcément les mêmes propriétés topologiques. Tu ne sais peut-être pas encore comment le prouver, mais tu le sais que c'est vrai et la preuve demandera généralement peu d'effort pour toi, même si elle requière que tu découvres des nouvelles techniques pour en y arriver.

Je n'ai jusqu'à présent presque rien lu en topologie (ça viendra!). MAis ayant fait pas mal de logique mathématique, ce que tu dis dans l'exemple m'apparait évident! Je ne sais pas trop ce qu'est un topos (qu'une idée tres générale et floue), mais je sais que s'il y a bijection, leurs structures sont homéomorphiques. Comme tu dis, je ne sais évidemment pas faire la preuve, mais je sais quel schème suivra cette preuve.

Le seul point que je voulais amener avec toute mes histoires se résume finalement par l'heureuse citation que Michel a amené de von Neumann. Pas plus, pas moins. Si quelqu'un accepte cette distinction, alors on est d'accord sur le point que j'ai essayé, plus ou moins adroitement, d'amener!

[Mathieu Cloutier]

Salut,

Pour ce qui est des dimensions supérieures à 3 pour l'espace, imaginez l'exercice suivant :

Je vous présente un prisme en 3 dimensions. Si vous le regardez de près et que vous l'avez entre les mains, vous voyez bien qu'il a 3 dimensions ce prisme. Maintenant, prenez le prisme et placez le de côté. Vous voyez seulement 1 face du prisme, mais vous devinez quand même que l'objet est en 3D, vous pouvez même le constater en déplaçant légèrement votre point de vue. Ensuite, imaginez qu'on éloigne le prisme de vous. Il vous sera tout à fait impossible de voir plus que la face du prisme et il deviendra, selon votre perspective, un objet en 2 dimensions. Continuons l'exercice. Si le prisme est plus long que haut, il suffit de l'éloigner beaucoup pour qu'il ait l'air d'une simple ligne, donc d'un objet en 1 dimension. Et, comme ce n'est pas assez, on peut éloigner le prisme assez pour qu'il vous apparaisse comme un simple point à l'horizon, donc comme un objet physique à 0 dimension.

Conclusion, avec la bonne (ou mauvaise?) perspective, un objet en 3 dimensions peut avoir l'air d'un objet en 2, 1 ou même 0 dimension.

Il serait donc possible d'imaginer le chemin inverse, c'est-à-dire qu'il existerait des objets en 9 dimensions, mais que notre perspective sur ces objets ne nous permet pas de «voir» les 9 dimensions.

A+

Mathieu

[Louis Morin]

Quand j'ai ecrit "mauvais", je me suis mal exprime... je voulais dire "est fausse". Ton avis tient-il toujours?

Ce que tu dis peut être vrai... sans être le moindrement pertinent. Je te demande: «Quelle heure est-il?» et tu réponds: «Il fait beau dehors». Je te dis: «Tu ne réponds pas à ma question» et tu rétorques: «Peu importe, puisque je te dis est vrai.»

Comment tu te représentes toi-même un espace à 4 dimensions? À quoi ça ressemble? Il y a une différence entre la signification conceptuelle (mathématique dans ce cas-ci) et ce que le peut se représenter mentalement.

Dans notre expérience de vie, la 4e dimension n'est pas au même diapason que les 3 autres. Alors qu'on peut aller n'importe où, on avance à vitesse constante dans le temps, sans pouvoir revenir en arrière. A mon avis, une représentation adéquate d'un espace à 4 dimensions est celle de quelqu'un qui voyage dans une machine à remonter le temps. Il peut aller n'importe où, n'importe quand à sa guise, et chaque point (x, y, z, t) de cet univers lui est accessible.

[Nicolas Fillion]

Ce que tu dis peut être vrai... sans être le moindrement pertinent. Je te demande: «Quelle heure est-il?» et tu réponds: «Il fait beau dehors». Je te dis: «Tu ne réponds pas à ma question» et tu rétorques: «Peu importe, puisque je te dis est vrai.»

Pour reprendre une expression, Holy Cow! La question dont on parle est "Pourquoi "-1 x -1 = 1". Tu réponds "parce que c'est intuitivement évident". Or, il me semble assez pertinent de considérer cet énoncé comme un énoncé mathématique. Dans ce cadre, je te montre que ton explication est mathématiquement insuffisante (et même plus, inadéquate). Tu rétorques: "Oui mais pour la plupart des gens, c'est ben correct." Alors je renchéris: "Je veux bien que ça fasse pour la plupart des gens, mais mathématiquement (scientifiquement), à strictement parler, ça fait pas du tout." Et je me fais dire: "Ça a aucun rapport avec la question ce que tu me dis là!" Holy cow!

La question de départ, c'est pas "Pourquoi "-1 x -1 = 1" pour la plupart des gens?". C'est "Pourquoi "-1 x -1 = 1?"", juste ça, point à la ligne. Quand tu réponds à "Pourquoi "-1 x -1 = 1" pour la plupart des gens?" au lieu de "Pourquoi "-1 x -1 = 1?"", et tu tu pousses jusqu'à dire que c'est la seule façon pertinente de traiter la question, c'est toi qui t'égares mon brave. Pour ma part, je crois qu'une telle question mérite vraiment d'être traitée par une explication fondationnelle sérieuse (bien que ce soit inutile pour la plupart de gens). D'ailleurs, si tu relis (lis?) mon premier message, je demandais de clarifier le sens de "pourquoi" (évidemment, toi, tu devais savoir "intuitivement" ce que ça voulait dire, mais moi (tu vas me traiter de coupeur de cheveux en 4?), aimant bien "gosser" mon intuition, j'entrevoyais tout plein de difficultés, et avec raison).

Ceci dit: continues à répondre à des questions pas posées si tu le veux, ils font ça aussi au Parlement.

[Sébastien Nadeau]

[...] La question dont on parle est "Pourquoi "-1 x -1 = 1". [...] Pour ma part, je crois qu'une telle question mérite vraiment d'être traitée par une explication fondationnelle sérieuse [...]

Je m'excuse Nicolas, mais je ne crois vraiment pas qu'il soit nécessaire d'aller plus loin que l'explication de Louis de ce cas-ci. Son explication me semble tout à fait suffisante et ne rejette en rien la volonté de pousser plus loin le formalisme au détriment de l'aspect pratique.

Sébastien

[Nicolas Fillion]

et ne rejette en rien la volonté de pousser plus loin le formalisme

Relis ses messages! Il me dit que ce n'est pas pertinent comme problème! Si c'est pas rejetter ça, c'est quoi?

Et je répète, sa réponse ne peut être considérée suffisante que si on ajoute des déterminations à la question qui ne sont pas présentes au départ. D'où l'importance de préciser le sens de "Pourquoi". Et vu le contexte (on avait un discussion théorique), il me paraît naturel de s'attendre à ce que "pourquoi" pose une certaine exigence qui va plus loin que de se vautrer dans l'évidence (apparente).

[benoitstpierre]

Nicolas et Sébastien,

Me semble qu'on devrait parler de "la question de Michel Vadnais" plutôt que de "la question". Me semble aussi que la question de Michel Vadnais consistait en un défi pour ses "intellectuels". Je crois qu'on devrait demander à Michel Vadnais.

Les remarques de Louis ne sont ni impertinentes ni dénuées de pertinence, même si elles peuvent ne pas porter pas sur le sujet précis de la question de Michel Vadnais. Si c'est une question fondationnelle, comme je le crois, il est légitime de se demander jusqu'où devrait-on continuer à couper les cheveux en quatre pour répondre à la question de Michel Vadnais. (Pour ma part, c'est pas avant avoir révisé mon lambda-calcul, mais c'est personnel.) Cette question est à peine entamée, car c'est pas en tripotant d'un bord et de l'autre d'une équation qu'on y répond.

Ce thread était en train de battre un record du nombre de post civilisé ;) Félicitations pour la continuation de votre beau programme !

[Nicolas Fillion]

Me semble qu'on devrait parler de "la question de Michel Vadnais" plutôt que de "la question".

Il me semble que c'est ce que j'ai essayé de dire pourtant! :)

La question de départ, c'est pas "Pourquoi "-1 x -1 = 1" pour la plupart des gens?". C'est "Pourquoi "-1 x -1 = 1?"", juste ça, point à la ligne.

C'est pas par hasard que j'ai utilisé "de départ" comme complément du nom "question". C'est parce que je m'intéressais à la question posée par Michel. Or, il m'apparaît que le contexte est très clair quant au type de réponse que l'on attend (et que l'on a toujours pas eu!! (du moins complètement)). Comme Benoît l'a dit, c'était un challenge lancé à la figures de ceux qui veulent bien porter le chapeau d'intellectuel. On s'attend donc à ce que des cheveux soient coupés en 4 et pas seulement à ce faire dire que c'est intuitivement évident (alors que, théoriquement parlant, ça ne va pas de soi tant que ça).

Comme pour Benoît, je crois que le contexte était suffisamment claire pour que l'on comprenne que la question (de départ) demandait une analyse fondationnelle. Et hop. La multiplication des cheveux par 2[sup]2[\sup] est lancée!

P.S. Et vous les intellos, pourquoi "2[sup]2[/sup]=4" ? :)

[IndiagonalJones]

M. St-Pierre, je suis assez d'accord avec vos judicieux propos concernant du sens de la question de Michel Vadnais, néanmoins, je veux juste apporter un léger correctif au sujet de ce "thread" que vous qualifiez de "civilisé". Je ne sais pas si vous avez lu celui-ci depuis le début, mais il commence, hélas, par des insultes, mais c'est après que l'on rentre dans la courtoisie en commençant à traiter de philosophie, de mathématiques, de physique et même d'échecs (de temps en temps) où on en arrive à ce que l'on a aujurd'hui et c'est bien passionnant car ce thread est en passe de devenir la "référence" sur ce babillard, continuons donc ce "beau programme" (ou plutôt ce bel effort?) comme vous dites.

-Indiagonal J.