Y A-T-IL UN PILOTE DANS L'AVION?

[Sébastien Nadeau]

Je veux bien que les maths aient été inventées pour de l'arpentage, du commerce, et autres stupidités essentielles du genre, mais elles ne s'y réduisent aucunement.

Heu, je n'ai rien dit qui aille à l'encontre de ça. J'ai simplement expliqué pourquoi, au départ, on s'est mis à étudier les maths.

En fait, si le point de vue de Louis ou de Sébastien était correct, la plus grande partie des développements en maths aux 19 et 20 ièmes siècles serait à jeter aux ordures.

Faux! Le point de vue de Sébastien ou de Louis est correct et nous n'avons pas à jeter aux poubelles les développements récents dans le domaine. On peut vouloir formaliser, mais il est essentiel pour un être humain de rattacher ces définitions abstraites à des concepts intuitifs du domaine pratique. En tout cas, moi je ne peux pas faire des maths si ça n'a plus aucun lien avec la réalité.

Sébastien

[Michel Vadnais]

Vous les intellectuels, expliquez-moi pourquoi -1 X -1 = +1 ???

Michel,

J'essaie.

-1 X -1 = +1 est une convention. Tout autre convention que -1 X -1 = +1 rendrait le système inconhérent dans le sens que le système ne serait plus un anneau.

Prenons la convention

-1 X -1 = a, où a est un entier

et, en respectant les propriétés de l'anneau des nombres entiers:

0 = (-1) X 0 = (-1) X (-1 + 1) = ((-1) X (-1)) + ((-1) X 1) = a + (-1)

En additionnant 1 des deux côtés de l'équation,

1 = 0 + 1 = a + (-1) + 1 = a + ((-1) + 1) = a + 0 = a

Donc, tout autre convention que (-1) X (-1) = 1 rendrait le système inconhérent.

On peut facilement prouver que la convention (-1) X (-1) = 1 respecte toutes les propriétés d'un anneau mais je ne pense pas que c'était le but de ta question.

Je m'excuse à l'avance se n'est pas suffisante philosophique pour certains forumeurs.

Daniel

Oui d'accord mais tu fais un raisonnement par l'absurde, en disant: «il faut que ça donne +1 parce qu'une autre réponse ne serait pas cohérente» mais est-ce acceptable comme preuve? Tout de même intéressant come démonstration

[Michel Vadnais]

Michel,

Ne vois-tu pas là la preuve mathématique qu'une personne négative qui se multiplie avec une autre personne négative donne une personne positive ?

Une personne niant son négativisme deviendrait-elle forcément positive?

[Michel Vadnais]

Vous les intellectuels, expliquez-moi pourquoi -1 X -1 = +1 ???

C'est intuitivement une évidence, alors pas besoin de faire de grandes preuves mathématiques ou de grands raisonnements philosophiques.

Si une fois je décide d'ajouter une pomme à un panier de pommes, le nombre de pommes restant dans le panier est le même qu'avant... plus une.

Donc 1 x 1 pomme = 1 fois une pomme = +1 pomme

Si une fois je décide d'enlever une pomme du panier, le nombre de pommes restant dans le panier est le même qu'avant... moins une.

Donc 1 x -1 pomme = 1 fois «moins une pomme» = -1 pomme

Mais si je décide d'enlever une pomme du panier, non pas une fois, mais «moins une fois», c'est une façon tordue de dire que non seulement je n'en enlève pas, mais que j'en remets une dans le panier.

Donc -1 x -1 pomme = «moins une fois» «moins une pomme» = +1 pomme

Je me méfie des évedences, j'ai toujours été fort en math justement parce que je considère qu'il n'y a rien d'évident et que j'ai besoin de preuves

[Michel Vadnais]

Pourquoi -1 x -1 = 1 ? Mais ça tombe sous le sens! Ne dit-on pas: "Les ennemis de nos ennemis sont nos amis" ? (tiré d'un bande dessinée de Roba: "La Ribambelle gagne du terrain", éditions Dupuis. C'est par cette entrée en matière que Tatane propose une alliance à Grofilou).

Il est aussi vrai que "les amis de nos amis sont nos amis". Ce qui correspond à: 1 x 1 = 1.

D'un autre côté, 1 x -1 = -1, parce que "les amis de nos ennemis sont nos ennemis". Et de même, bien sûr, -1 x 1 = -1, parce que "les ennemis de nos amis sont nos ennemis".

Démonstration par le GBS!?

[Michel Valley]

Oui d'accord mais tu fais un raisonnement par l'absurde, en disant: «il faut que ça donne +1 parce qu'une autre réponse ne serait pas cohérente» mais est-ce acceptable comme preuve? Tout de même intéressant come démonstration

Oui. En fait, la démonstration affirme: soit ça donne +1, soit ça ne donne rien. Comme on veut que ça donne quelque chose...

[Michel Vadnais]

Les mathématiques ont été inventés pour faciliter la résolution de certains problèmes dans le commerce. Cette façon de conceptualiser -1 x -1 = +1 est donc tou à fait pertinente. J'étais en train d'y réfléchir en lisant ce thread.

Sébastien

Oui mais donne moi un exemple d'opération commerciale qui fait -1 X -1 = +1? Aujourd'hui les maths dépassent les concepts commerciaux (à moins que ce soit le commerce qui n'a pas suivi les maths )

[Michel Vadnais]

Non. Non. Et re-non! Bande de populistes des maths! Je veux bien que les maths aient été inventées pour de l'arpentage, du commerce, et autres stupidités essentielles du genre, mais elles ne s'y réduisent aucunement. Les maths sont devenues une science qui est étudiée - en plus de ses rôles traditionnels - ou pour elle-même, ou pour des sciences très abstraites. Ça fait longtemps que les maths ne se limitent en rien au gros bon sens (ce qui est concevable, ou intuitivement évident). En fait, si le point de vue de Louis ou de Sébastien était correct, la plus grande partie des développements en maths aux 19 et 20 ièmes siècles serait à jeter aux ordures. Depuis la construction des géométries non-euclidiennes (bien que le postulat des parallèles ait été "intuitivement évident"), en passant par l'arithmétization et l'axiomatization, pour finalement accoucher de l'analyse non-standard, ça fait longtemps que les maths n'ont absolument plus comme critère l'évidence intuitive. Ou, plus excatement, ça fait longtemps que les maths, comme les autres sciences d'ailleurs, ont compris qu'il fallait évacuer les intuitions évidentes le plus possible pour progresser et entreprendre une démarche fondationnelle digne de ce nom.

Là Nicolas, je suis tout à fait d'accord avec toi

[Michel Vadnais]

Tout le monde savait que ce problème ne pouvait pas se résoudre, mais le ptit nouveau lui ne le savait pas, et il l'a résolu... oups...

[benoitstpierre]

Salut Michel !

Voici une page où on donne de bons exemples concrets de multiplication de deux entiers négatifs : http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.negxneg.html.

L'idée est d'utiliser le domaine de la dette, e.g. si on te crédite une année d'un prêt avec des paiements mensuels de 500$, ça fait -12 x -500$. Qui sait, peut-être que ce petit exercice va permettre au Québec de devenir lucide ? ;)

La réponse à ta question est celle que Daniel a donnée : tu peux pas faire autrement, sinon il y a qqch qui marche plus dans ton système. (En ce cas-ci, ç'a l'air que c'est la distributivité.)

Pour ce qui concerne ta recherche de preuve, même les constructivistes admettent qu'un moment donné, on peut pas tout prouver, il faut partir de quetchose. Mais ton intuition fait beaucoup avancer la théorie de la preuve.

***

Nicolas,

Je comprends que les maths soient abstraites, mais il reste qu'un modèle devrait être un modèle de qqch. Des jeux de manipulation formelle sans interprétation, c'est juste bon pour les formalistes. Mais c'est sûr que de se représenter des univers à onze dimensions, ça commence à faire des dessins avec pas mal de lignes de tout bord tout côté...

***

Daniel,

Je poursuis mes recherches un autre moment donné. Je viens d'apprendre qu'un ami proche n'en a plus pour très long et m'en vais penser à lui.

[OxNumberNine]

En tout cas, moi je ne peux pas faire des maths si ça n'a plus aucun lien avec la réalité.

Je te conseille fortement d'éviter les cours d'algèbre de Lie, d'algèbre de Jordan, et la théorie des catégories comme la peste si tu considères qu'un lien avec la réalité est essentiel.

Des cours discutant des espaces d'Hilbert ou de l'analyse tensorielle ont un lien plus proche avec la réalité mais ces cours demandent un certain effort de compréhension de la part de l'étudiant.

Moi, j'aime bien tous ces sujets mais il se peut fort bien que votre appréciation ne corresponde pas à la mienne.

Daniel

[OxNumberNine]

Oui d'accord mais tu fais un raisonnement par l'absurde, en disant: «il faut que ça donne +1 parce qu'une autre réponse ne serait pas cohérente» mais est-ce acceptable comme preuve? Tout de même intéressant come démonstration

La démonstration est suffisante pour démontrer que (-1) x (-1) = 1 dans l'anneau des nombres entiers.

La preuve que l'ensemble des entiers avec l'addition et la multiplication est un anneau est laissé au forumeur.

Daniel

[Nicolas Fillion]

En tout cas, moi je ne peux pas faire des maths si ça n'a plus aucun lien avec la réalité.

Je te conseille fortement d'éviter les cours d'algèbre de Lie, d'algèbre de Jordan, et la théorie des catégories comme la peste si tu considères qu'un lien avec la réalité est essentiel.

Je suis tout-à-fait en accord avec la réplique d'Ox. Par mes temps libres, ces jours-ci, je me suis mis à l'étude de la théorie des catégories, des hyper-réels et de l'analyse non-standard. C'est absolument fascinant et d'une rigueur orgasmique. Cependant, l' "intuitivité" en mange un coup!

Le point de vue de Sébastien ou de Louis est correct et nous n'avons pas à jeter aux poubelles les développements récents dans le domaine. On peut vouloir formaliser, mais il est essentiel pour un être humain de rattacher ces définitions abstraites à des concepts intuitifs du domaine pratique. En tout cas, moi je ne peux pas faire des maths si ça n'a plus aucun lien avec la réalité.

Ce n'est pas qu'une question de formalisation. Les domaines qui sont étudiés dépasse tout simplement ce qu'il est possible (du moins, ce qui est considéré tel en psycho cognitive actuellement) de concevoir intuitivement pour l'humain. Je te mets au défi, comme le suggère Benoït, de concevoir un espace èa 11 dimensions!!!!!!!!!! Bonne chance! Et pourtant, les espaces èa 11 dimensions sont un sujet d'étude mathématique absolument digne de ce nom.

Je comprends que les maths soient abstraites, mais il reste qu'un modèle devrait être un modèle de qqch. Des jeux de manipulation formelle sans interprétation, c'est juste bon pour les formalistes. Mais c'est sûr que de se représenter des univers à onze dimensions, ça commence à faire des dessins avec pas mal de lignes de tout bord tout côté...

Et voila mon point (qui, je le concede, est philosophiquement contestable, mais qui, dans la pratique scientifique et meme philosophique, est quasi-universellement admis): les sciences contemporaines tiennent pour prémisses que la réalité intuitionnable ne coincide pas avec la réalité en soi. Autrement dit, le fait d'etre intuitionnable n'a aucun poids, i.e. que ce n'est aucunement un critere de scientificite. Donc, dans ce cadre, "devoir etre un modele de qqc" ne veut absolument pas dire que ce qqc doit etre intuitivement concevable.

Evidemment, il faut un lien avec l<intuition un moment donne. Mais ca n<a ni besion d<etre present dans toutes les methodes, ni besoin de se manifester dans le fait que chaque objet d<etude (ou modele d<un systeme formel) soit intuitionnable. Disons que si une partie de ce que doit subsumer le modele (directement ou indirectement) se comprend intuitivement, ce sera deja beaucuop de gagne!

[Nicolas Fillion]

La preuve que l'ensemble des entiers avec l'addition et la multiplication est un anneau est laissé au forumeur.

:) :) :) Comme dans le livre! :)

[OxNumberNine]

Par mes temps libres, ces jours-ci, je me suis mis à l'étude de la théorie des catégories, des hyper-réels et de l'analyse non-standard. C'est absolument fascinant et d'une rigueur orgasmique. Cependant, l' "intuitivité" en mange un coup!

Est-ce que tes livres d'analyse non-standard font références aux recherches de Michel Racine? C'est un de mes anciens professeurs et il faisait beaucoup d'effort de recherche dans ce domaine au début des années 80. Il a été mon ""advisor" (tr?) pendant deux ans et il m'a permis de rencontrer Nathan Jacobson à maintes et maintes reprises!

Daniel

[Nicolas Fillion]

Salut Ox!

Pour l'instant, je ne travaille qu'avec trois auteurs en ce qui concerne l'analyse non-standard:
1- Le fondamental: Robinson, Nonstandard analysis.
2- Le basic: Kisler, Elementary Calculus. (C'est comme un cours de math de l'ingenieur, mais en nonstandard)
3- Bell, A primer to infinitesimal analysis (application a la geometrie synthetique differentielle, ce qui m'interesse avant tout). Ce gars est prof de philo a Western Ontario (London), et j<envisage d<aller faire mon doc avec lui...

Pour la theorie des categories, je travaille avec Lawvere et Rosebrugh, Set theory.

Michel Racine ne me dit rien. J<ai lu un article de Joaille, de Mtl. Si tu as des titres a me recommander, j'aimerais bien! (car je travaille en solo, et un coup de main dans la selection des sources pertinentes ne peut que m<aider!) Merci a l'avance!

[Louis Morin]

Je me méfie des évedences, j'ai toujours été fort en math justement parce que je considère qu'il n'y a rien d'évident et que j'ai besoin de preuves

Il faut comprendre que l'immense majorité (au moins 99,99%) des gens susceptibles de se poser la question «pourquoi -1 x -1 = +1» ne sont pas des mathématiciens, et donc qu'une réponse pleine de formalisme mathématique ne peut leur être d'aucun secours.

PS Moi aussi je suis (étais?) fort en maths, et moi aussi j'ai besoin de preuves, mais j'estime également qu'à peu près tout peut finir par s'expliquer intuitivement si on s'en donne vraiment la peine.

[IndiagonalJones]

M. Vadnais, je suppose que lorsque vous vous référez au "p'tit nouveau"
dans "Tout le monde savait que ce problème ne pouvait pas se résoudre, mais le "ptit" nouveau lui ne le savait pas, et il l'a résolu... oups...", il s'agit de mon humble personne !

Merci de votre témoignage...

Comme cartains , je ne crois pas qu'une démontration même par l'abusrde ou tout autre a besoin d'une explication à savoir pourquoi deux négatifs multipliés ensembles donnent un résultat positif car comme l'a si bien dit,
Louis Morin :

"C'est intuitivement une évidence, alors pas besoin de faire de grandes preuves mathématiques ou de grands raisonnements philosophiques."

Et il a raison*. C'est même plus qu'une évidence, c'est un fait indéniable que -1 X -1= + 1, incontestable même, mais qu'on pourrait stipuler encore longtemps de pourquoi c'est comme ça. Dans l'fond, ça n'a pas d'importance, c'est plutôt une sorte de "convention" qui s'est imposée avec le temps, comme le fait de décider que notre système de calcul a été élaboré sur une base de 10 alors qu'il aurait pu en être autrement, comme en mode binaire pour les ordis, ou hexagonal, ainsi de suite... Si je me souviens bien, les Aztèques ou les Incas, avaient une base de 60 comme référence pour leurs calculs et les Romains avec leurs chiffres romains (ou plutôt des lettres!) ne connaissaient même pas le "0", ce qui ne les a pas empêché de dominer le monde, alors, vous pensez que vos petites formules mathématiques et d'équations pour prouver déjà un fait communément admis en mathématiques va intéresser des joueurs d'échecs qui, pour la plupart**, vont aller s'occuper d'aller jouer quelques parties blitz (ou devrais-je dire "blistres"?) au café du coin, plutôt que de se demander ce que de pseudos mathématiciens (pour rire bien entendu!) en mal de preuves scientifiques et de théorie font sur ce babillard pour expliquer comment mettre l'univers en bouteille selon des formules abhérentes et qui sont dans doute en train de jouer aux échecs sur un échiquier hypercube dans la "n" dimension, selon leur perspective d'idéal de joueur d'échecs enfin accompli.


Messieurs, je vous laisse sur ces réflexions,

le "p'tit nouveau", Indiagonal Jones !

____________________________

*J'aime bien d'ailleurs ses explications avec les pommes dans leur panier, ce qui nous éclairait d'une façon simple comment possiblement envisager
intuitivement que -1 x -1 peut donner +1.

** et je le rejoins ici dans son raisonnement quand il dit : "qu'il faut comprendre que l'immense majorité (au moins 99,99%) des gens susceptibles de se poser la question «pourquoi -1 x -1 = +1» ne sont pas des mathématiciens, et donc qu'une réponse pleine de formalisme mathématique ne peut leur être d'aucun secours." C'est plein de sens!

[benoitstpierre]

Indiagonal,

Peut-on convenir d'autre chose que -1 x -1 = 1 pour la multiplication ? Si on ne peut pas faire autrement, est-ce vraiment une convention ?

Comme disait Searle à ses étudiants convaincus par Wittgenstein II que le langage était un jeu : trouve-moi d'autres règles, une autre façon de jouer, juste pour voir !

[Sébastien Nadeau]

Ce n'est pas qu'une question de formalisation. Les domaines qui sont étudiés dépasse tout simplement ce qu'il est possible (du moins, ce qui est considéré tel en psycho cognitive actuellement) de concevoir intuitivement pour l'humain. Je te mets au défi, comme le suggère Benoït, de concevoir un espace èa 11 dimensions!!!!!!!!!! Bonne chance! Et pourtant, les espaces èa 11 dimensions sont un sujet d'étude mathématique absolument digne de ce nom.

Attention. N'allez pas me prendre pour un imbécile. Évidemment que je ne peux pas me faire une image précise d'un univers en 11 dimensions, mais je conçois très bien que ça peut être utile pour démontrer certaines choses.

J'aime beaucoup les maths, mais ce que je n'aime pas, c'est qu'on m'explique que -1 x -1 = +1 avec une résolution de récurrence. L'explication de Louis est fondée sur la logique et très bien illustrée par l'exemple de Benoît.

Une levée de boucliers philosophiques (je mets intentionnellement l'adjectif au pluriel) est inutile parce que je ne suis pas en désaccord!

Sébastien