Y A-T-IL UN PILOTE DANS L'AVION?

[benoitstpierre]

Monsieur J,

Bien entendu, j'aurais dû dire "ce thread depuis sa résurrection"!

[Louis Morin]

Continues à répondre à des questions pas posées si tu le veux, ils font ça aussi au Parlement.

On peut ne pas être d'accord sur le pourquoi de (-1) x (-1) = +1, mais faut-il pour autant en venir aux insultes? En ce qui me concerne, le sujet est clos.

[OxNumberNine]

Cette question est à peine entamée, car c'est pas en tripotant d'un bord et de l'autre d'une équation qu'on y répond.

SuperBen,

L'ensemble des entiers avec l'addition et la multiplication est un anneau. En particulier, l'ensemble des entiers avec l'addition est un groupe abélien

Je te pose maintenant une question.

Soit G un groupe, et a, b, c des éléments de ce groupe. Est-ce
a = b implique que a + c = b + c?

La réponse est simple et la preuve l'est aussi. Je te recommende d'essayer de le prouver parce que je crois (sans malice) qu'il faut que tu te convainques de sa véracité.

Je te pose une deuxième question (qu'est-ce que tu vexu, je suis exigeant)

x + 3 = 7
Que vaut x?

Maintenant, revoie la preuve que (-1) x (-1) = 1 et celle de (-2) x (-3) = 6 et peut-être ce sera plus clair.

Daniel

[Nicolas Fillion]

Continues à répondre à des questions pas posées si tu le veux, ils font ça aussi au Parlement.

On peut ne pas être d'accord sur le pourquoi de (-1) x (-1) = +1, mais faut-il pour autant en venir aux insultes? En ce qui me concerne, le sujet est clos.

Personnellement, je ne considère pas que se trouver au Parlement ou faire quelque chose comme ce qui se fait au Parlement est nécessairement une insulte. C'est plutôt un choix (rhétorique, dans ce cas) basé sur des considérations pratiques. Or, il semble ici qu'aucun choix rhétorique de la sorte soit nécessaire ou même enviable. Cependant, si tu veux continuer sur cette voie, vas-y!

[Nicolas Fillion]

Au passage, voici un extrait d'article qui vous fera sourire, du moins je l'espère! :) J'en ai fait une traduction approximative.

La conversation suivante entre deux professeurs fut interceptée dans le lounge de l'édifice des mathématiques:

A. Saviez-vous qu'au moins deux des trois énoncés suivants sont équivalents: le dernier théorème de Fermat, l'hypothèse de Riemann et l'hypothèse du continu?
B. Lesquels?
A. Ça, je ne sais pas.
B. Vous ne pouvez dire que deux énoncés sont équivalents à moins que vous puissiez le prouver.
A. Tout ce que je dis, c'est que je peux prouver la disjonction "(p <--> q) v (q <--> r) v (r <--> p)", mais je n'affirme pas pouvoir prouver l'une des trois alternatives.
B. Comment prouvez-vous la disjonction?
A. Chaque p, q ou r peut avoir deux valeurs de vérité: vrai ou faux. De là, au moins deux d'entre eux doivent avoir la même valeur de vérité.
B. Allons, nous savons tous qu'il y a des énoncés qui ne sont ni vrais ni faux.

Ce qui est comique, c'est que sans le savoir, B vient de refuser le principe du tiers-exclu!! (tant qu'il s'en tient aux systèmes formels) Nous avons d'ailleurs vu ce point en litige dans l'enfilade...

p.s. j'ai réussi à formuler (paraphraser) une preuve minimum (que je crois telle :) )satisfaisante (à l'aide de livres) pour N. j'essaie d'étendre pour Z.

[OxNumberNine]

Ce qui est comique, c'est que sans le savoir, B vient de refuser le principe du tiers-exclu!! (tant qu'il s'en tient aux systèmes formels) Nous avons d'ailleurs vu ce point en litige dans l'enfilade...

Je vais réessayer, pour ce forumeur, d'expliquer encore la preuve.

Z avec l'addition et la multiplication est un anneau.

Donc
(-1) X (-1) = a pour un certain a qui appartient à Z pcqu'un anneau est fermé par rapport à la multiplication.

0
= (-1) x 0 pcq 0 est l'élément absorbant de la multiplication
= (-1) x (1 + (-1)) pcq (-1) est l'inverse additif de 1
= (-1) x 1]) + ((-1) x (-1)) pcq la multiplication est distribution par rapport à l'addition.
= (-1) + ((-1) x (-1)) pcq 1 est l'élément neutre de la multiplication.
= (-1) + a pcq'un a postulé que (-1) x (-1) = a ci-haut

Donc,
0 = (-1) + a

Il faut maintenant faire une application du théorène

Si x, y, et z appartiennent à Z et que x = y, alors x + z = y + z

avec x = 0, y = (-1) + a, et z = 1

Donc,
0 + 1
= ((-1) + a) + 1
= (a + (-1)) + 1 par commutativité de l'addition
= a + ((-1) + 1) pas associativité de l'addition
= a + 0 pcq -1 est l'inverse additif de 1
= a pcq 0 est l'élément neutre de l'addition

Mais
0 + 1 est aussi
= 1 pcq 0 est l'élément neutre de l'addition

Donc a = 1

CQFD sans aucune référence à un raisonnement par l'absurbe.

p.s. j'ai réussi à formuler (paraphraser) une preuve minimum (que je crois telle )satisfaisante (à l'aide de livres) pour N

J'espère que tu n'as pas fait la preuve que (-1) x (-1) = 1 pour N !!

Daniel

[benoitstpierre]

Daniel,

Voici le début du devoir demandé. Puisque je suis nul en maths, tu me permettras de consulter d'abord : Gallian, Joseph A., Contemporary Abstract Algebra, 1990, pour clarifier :

L'ensemble des entiers avec l'addition et la multiplication est un anneau. En particulier, l'ensemble des entiers avec l'addition est un groupe abélien

Un groupe G est un ensemble non-vide clos sous au moins une opération binaire, i.e. qui assigne à tout couple (a, b) d'éléments de G un élément ab de G, tel qu'il possède l'associativité, l'identité et l'inverse.

Un groupe abélien est un groupe qui possède en plus la commutativité. Un anneau est un groupe est un groupe abélien sous l'addition auquel on ajoute la multiplication distributive (tant à gauche qu'à droite).

Définissons les propriétés qu'on vient d'introduire, question de montrer que la principale difficulté des maths est plus liée à l'imposante et rébarbative terminologie qu'aux capacités d'abstraction, les mathématiciens ayant tendance à sous-estimer les facultés d'abstraction des non-matheux et de surestimer leurs skills pédagogiques :

Associativité : a(bc) = (ab)c
Identité : il existe un élément e de G tel que ae = ea = a pour tout a dans G.
Inverse : Pour chaque élément de G, il y a un élément b de G tel que ab = ba = e
Commutativité : ab = ba pour toute paire d'élément de G.
Distributivité : a(b + c) = ab + ac ; (b + c)a = ba + ca.

***

Gallian donne plusieurs exemples. Son premier est intéressant : les nombres entiers (Z), ceux rationnels (Q) et ceux réels (R) sont des groupes sous d'addition. Dans tous les cas, l'inverse de l'identité est 0 et l'inverse de a est -a. Son second est aussi intéressant : les entiers sous la multiplication ordinaire n'est pas un groupe, becoze l'inverse n'est pas toujours dans le groupe, e.g. il n'y a pas d'entier b tel que 5b = 1.

***

Gallian présente un premier théorème portant sur les règles de la multiplication, lesquelles sont des propriétés des anneaux :

Étant donné a, b et c, des éléments d'un anneau R :

1. a0 = 0a = 0
2. a(-b) = (-a)b = -(ab)
3. (-a)(-b) = ab
4i. a(b-c) = ab -ac et
4ii. (b-c)a = ba - ca
5. (-1)a = -a
6. (-1)(-1) = 1

Malheureusement pour nous, Gallian ne donne dans le texte que les solutions de (1) et (2). Mais il caractérise leur preuves comme faciles, en invoquant la stratégie suivante : faire travailler la distributivité et le fait que R est un groupe sous l'addition avec l'identité additive 0. Exemple, pour (1) : 0 + a0 = a0 = a(0 + 0) = a0 + a0, ergo 0 = a0 et 0a = 0.

Je vais me concentrer sur ces exercices et répondrai à tes questions plus tard.

***

À la fin, il donne les solutions pour (3) et (4) ; pour (5), il référe à la solution de (2) et pour (6), ce qui nous intéresse, il réfère à (3). Voyons la solution de (3) :

(3)

0
= 0(-b) [cf. (1)]
= (a + (-a))(-b) [inverse]
= a(-b) + (-a)(-b) [distributivité]
= -(ab) + (-a)(-b) [cf. 2]
ergo, ab = (-a)(-b) [on passe ab à gauche et on élimine 0.]

La solution de (6) a l'air simple : on remplace a et b par 1 et on simplifie : (1)(1) = (-1)(-1) puis 1 = (-1)(-1)

***

Je commence à comprendre le genre de preuve qu'on fait en algèbre. C'est loin d'être la même chose qu'en théorie des ensembles. En fait, on dirait que les algébristes partent d'objet avec des propriétés pour déduire, alors que les ensemblistes construisent leurs éléments. On retrouve un même genre d'opposition de méthode en programmation. J'aurais tendance à croire qu'on fait dans la POO (;) parce que 70% des programmeurs ne pourraient programmer en fonctionnel, mais je dis ça juste pour taquiner.

***

Merci pour m'avoir fait ouvert mon livre,

Désolé à l'avance pour les coquilles et les erreurs d'interprétation,

B.

PS: Gallian met en note sous (3) la citation suivante :

Minus times minus is plus,
The reason for this we need not discuss.

[benoitstpierre]

Dan,

En composant ce dernier long message, j'ai raté ton dernier. Par malheur ou par bonheur, sinon je ne l'aurais peut-être pas composé !

[Louis Morin]

Je vais réessayer, pour ce forumeur, d'expliquer encore la preuve.(...)

Cette démonstration serait convaincante si la question avait été:

«En supposant connus et bien établis les axiomes, postulats, définitions et théorèmes suivants:

1) Z avec l'addition et la multiplication est un anneau;
2) un anneau est fermé par rapport à la multiplication;
3) 0 est l'élément absorbant de la multiplication et l'élément neutre de l'addition;
4) (-1) est l'inverse additif de 1;
5) la multiplication est distributive par rapport à l'addition;
6) 1 est l'élément neutre de la multiplication;
7) Si x, y, et z appartiennent à Z et que x = y, alors x + z = y + z;
8) l'addition est commutative et associative;

Alors démontrez que (-1) x (-1) = +1»

Mais la question était: «Pourquoi (-1) x (-1) = +1?»

Voilà où j'accroche. D'une part, on avance que l'énoncé (-1) x (-1) = +1 est suffisamment peu évident qu'il faille le prouver formellement. Mais pour ce faire, on utilise d'autres énoncés qui, ma foi, ne sont pas plus évidents à première vue, mais ceux-là on peut s'en servir sans avoir à les prouver? Moi, ça ne me convainc pas vraiment...

[benoitstpierre]

Louis,

Que penses-tu de l'explication de Michel Valley, alors ?

[Réjean Tremblay]

Notre cher prof Latulippe nous en avait sorti une capable. La mise en scène était qu'un gars avait acheté des livres pour $113. Au moment de payer, le gars dit que 113 est égale à 1, donc il va payer $1

La démonstration devait avoir une dizaine de lignes "démontrant" que 113 est égale à 1.

M. Latulippe avait montré la démonstration à d'autres profs de mathématiques (hors de Mérici). À près aucun ne l'avait eu.

La farce résidait qu'à un moment donné, il y avait un terme qui occasionnait une division par zéro. Évidemment, la "preuve" était fausse...

M. Latulippe s'est posé quelques questions sur les profs de maths qui n'avaient rien vu.

Réjean Tremblay

[OxNumberNine]

Cette démonstration serait convaincante si la question avait été:

«En supposant connus et bien établis les axiomes, postulats, définitions et théorèmes suivants:

1) Z avec l'addition et la multiplication est un anneau;
2) un anneau est fermé par rapport à la multiplication;
3) 0 est l'élément absorbant de la multiplication et l'élément neutre de l'addition;
4) (-1) est l'inverse additif de 1;
5) la multiplication est distributive par rapport à l'addition;
6) 1 est l'élément neutre de la multiplication;
7) Si x, y, et z appartiennent à Z et que x = y, alors x + z = y + z;
l'addition est commutative et associative;

Alors démontrez que (-1) x (-1) = +1»

Mais la question était: «Pourquoi (-1) x (-1) = +1?»

Voilà où j'accroche. D'une part, on avance que l'énoncé (-1) x (-1) = +1 est suffisamment peu évident qu'il faille le prouver formellement. Mais pour ce faire, on utilise d'autres énoncés qui, ma foi, ne sont pas plus évidents à première vue, mais ceux-là on peut s'en servir sans avoir à les prouver? Moi, ça ne me convainc pas vraiment...

Louis,

Ton 1) Z avec l'addition et la multiplication est un anneau est la seule chose qui reste à prouver sur ce babillard. Le reste font ou soit partie de la définition d'un anneau ou d'un groupe abélien, soit une conséquente de ces définitions.

Prouver que Z avec l'addition et la multiplication est un anneau requière une définition formelle de Z (n'est pas peur, il en existe) mais celles-ci sont plus difficiles à comprendre et engendraient plus de questions. Il faut dire aussi que ça ne me tente pas vraiment de donner un cours sur ce babillard....

Cherche "nombres naturels" sur le web et tu trouveras peut-etre une définition qui te satisfera.

Sinon dis-moi quelles sont les propriétés que tu attribues à Z et j'essaaerai de me débrouiller avec ça...

Daniel

[OxNumberNine]

Notre cher prof Latulippe nous en avait sorti une capable. La mise en scène était qu'un gars avait acheté des livres pour $113. Au moment de payer, le gars dit que 113 est égale à 1, donc il va payer $1

Ton prof est généreux. Moi, j'aurais démontré que $113 = -$10,000 et que le vendeur me devait pas mal de change!

Daniel

[benoitstpierre]

Re-Louis,

Je viens de penser à une image qui pourrait t'inspirer qqch de simple :

moins, c'est comme reculer ; moins un c'est reculer d'un pas.
Moins un pas fois moins un pas, c'est comme reculer en reculant ;
reculer à reculons, c'est avancer.

Comme quoi l'expression "reculer pour mieux sauter" pourrait avoir un fondement mathématique !

[Sylvain Tremblay]

J'ai reculé l'heure et ça me suffit ... rien qu'à penser qu'on se rapproche de nos cousins les Français (avec leur humour plate saupoudré d'un brin de faux intello)

[Louis Morin]

Ton Z avec l'addition et la multiplication est un anneau est la seule chose qui reste à prouver sur ce babillard. Le reste font ou soit partie de la définition d'un anneau ou d'un groupe abélien, soit une conséquente de ces définitions.

Prouver que Z avec l'addition et la multiplication est un anneau requière une définition formelle de Z (n'est pas peur, il en existe) mais celles-ci sont plus difficiles à comprendre et engendraient plus de questions. Il faut dire aussi que ça ne me tente pas vraiment de donner un cours sur ce babillard....

Daniel, il est évident que ta démonstration fonctionne, et permettrait d'obtenir le maximum de points si la question était posée dans le cadre d'un examen de mathématiques à l'université.

Sauf que je suis du genre pratico-pratique. Et quand je lis une question du genre «Pourquoi (-1) x (-1) = +1», je me demande avant toute chose QUI serait le plus susceptible de poser une telle question, et dans quelle circonstance. Je pense que la réponse est: quelqu'un qui voit ça pour la première fois, et n'y comprend rien de rien. Autrement dit, un étudiant du secondaire qui débute un cours d'algèbre. Donc, cet étudiant demande «Pourquoi (-1) x (-1) = +1» à son prof, et ce prof devrait tenter lui «faire comprendre» un concept aussi simple en se servant d'anneaux, de groupes abéliens et de toutes sortes de notions qui relèvent de cours infiniment plus avancés? Voyons donc! Pédagogiquement, ça a à peu près autant de sens que prendre une bombe atomique pour tuer une mouche.

Voilà, c'est à peu près tout ce que j'avais à dire là-dessus. C'est sûr que lorsque la question est posée par un féru de mathématiques à d'autres férus de mathématiques, une démonstration formelle comme la tienne s'impose, mais quand j'ai lu «pourquoi (-1) x (-1) = +1?», j'étais à mille lieux de m'imaginer que c'était justement dans ce cadre que la question était posée. Toutes mes plus plates excuses à ceux que mes messages ont pu froisser. Ça m'apprendra à intervenir au beau milieu d'une enfilade sans tout lire depuis le début.

[Sylvain Tremblay]

...est la seule chose qui reste à prouver sur ce babillard.

quelle pédance ox !

[Réjean Tremblay]

Re-Louis,

Je viens de penser à une image qui pourrait t'inspirer qqch de simple :

moins, c'est comme reculer ; moins un c'est reculer d'un pas.
Moins un pas fois moins un pas, c'est comme reculer en reculant ;
reculer à reculons, c'est avancer.

Une des images les plus claires pour faire comprendre -1 X - 1 = 1

Réjean Tremblay

[François Caire]

Ben voyons, -1 * -1 = 1 parce qu'un néeatif fois un négatif donne un positis et que 1 * 1 = 1. Tout le monde sait ça!

[Sylvain Tremblay]

J'ai relu votre enfilade à partir de gars qui nous arrive avec le 1
Il vous a bien eu... il a omis de définir l'unité
Une des premières erreur que l'on fait c'est d'inculquer à des enfants le concept de l'unité:

Regarde fiston un toutou

L'enfant de un an prend l'objet et le réflexe premier c'est d'essayer de le briser en étirant sur la tête ou le membres.
Il ne fait que contester votre notion d'unité qui est une abstraction i.e. le fruit de votre imagination.