Finalement j'ai fouillé dans ma bibliothèque pour voir si je ne trouverais pas quelque chose pour m'éclairer, et suis tombé sur le Webster's New World Dictionary of Mathematics. Rien de très formel, sûrement, mais exactement ce qu'il faut pour quelqu'un qui carbure à l'intuition.OxNumberNine a écrit :Est-ce que N, Z, Q, et R ont la même cardinalité?
Donc voici ce que je comprends (ou crois comprendre) après avoir lu l'explication de «cardinal number». L'ensemble des nombres naturels N est infini, mais dénombrable. On ne peut évidemment énumérer une infinité d'éléments, mais on peut les imaginer tous: 1, 2, 3, 4, 5, et ainsi de suite à l'infini. Même chose pour l'ensemble des nombres entiers Z, qui contient N plus -1, -2, -3, -4, -5 et ainsi de suite à l'infini. Pour l'ensemble des nombres rationnels Q, c'est un peu plus difficile mais on y arrive: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 et ainsi de suite en additionnant 1 au dénominateur jusqu'à l'infini, puis on recommence la même liste avec avec 2 au numérateur, puis 3, 4, 5 et ainsi de suite à l'infini. De cette façon, on est sûr de ne manquer aucune fraction, ce qui prouve que Q est bien dénombrable.
Un autre aspect de N, Z et Q est leur discontinuité. Si on place tous les points de N sur une ligne géométrique, on voit bien qu'entre deux points il reste un nombre infinis d'espaces vides. Exemple, entre 1 et 2, il y a une quantité infinie de nombres qui ne sont pas des entiers positifs; entre n'importe quel couple de deux fractions, aussi proches soient elles l'une de l'autre, il existe une infinité d'autres fractions, bien sûr, mais surtout une infinité de nombres qui ne sont pas des fractions.
Contrairement aux atomes, qui bien que petits vont finir par remplir n'importe quel espace physique si on met suffisamment, les points géométriques (chacun représentant un nombre) sont sans dimensions et on peut en mettre une infinité sur une ligne sans qu'elle se remplisse nécessairement. Une ligne de nombres naturels, de nombres entiers ou de nombres rationnels est formée d'une infinité de points discontinus, chacun de ces points étant lui-même entouré d'une infinité d'espaces vides. Intuitivement, les trois ensembles N, Z et Q ont la même densité (infinité de points entourés d'une infinité de vides), et par conséquent la même cardinalité.
Pour l'ensemble des nombres réels R, c'est très différent, puisqu'on ne peut le dénombrer. S'il existe une infinité de nombres naturels, une infinité de nombres rationnels, etc., il existe une innombrable infinité de nombres réels. C'est-à-dire que les nombres réels sont: 1) tous les nombres naturels (une infinité); 2) tous les entiers négatifs (une infinité); 3) toutes les fractions (une infinité); 4) toutes les fonctions trigonométriques (une infinité); 5) toutes les fonctions logarithmiques (une infinité)... et on peut continuer à l'infini. Non seulement on ne pourra jamais énumérer tous les nombres réels, mais surtout on ne pourra jamais tous les imaginer, il en manquera toujours. C'est là la grande différence entre R d'une part et N, Z ou Q, d'autre part.
De plus, R a horreur du vide: c'est un ensemble plein à craquer. Il forme un continuum, c'est-à-dire qu'entre deux nombres réels quelconques, il en existe une infinité d'autres nombres réels, sans le moindre vide qui les sépare. Tous les points sur la ligne des nombres réels sont des nombres réels. La densité de cette ligne est donc clairement supérieure aux lignes représentant N, Z et Q (qui sont pleines de vides), et ainsi la cardinalité de R ne peut qu'être plus élevée aussi.
Voici une autre façon intuitive de palper la différence entre la cardinalité d'une ensemble fini, la cardinalité de Q et la cardinalité de R. Supposons que E soit l'ensemble de toutes les positions d'échecs possibles. Il y en a bien entendu un nombre astronomique (nettement plus élevé que le nombre d'atomes dans l'univers), mais comme c'est un nombre fini, il n'est pas inconcevable qu'un jour un ordinateur arrive à toutes les recenser. Pour le moment, il existe des cédéroms donnant le meilleur coup et le résultat final (nulle ou mat forcé) pour toutes les positions possibles avec six pièces et moins sur l'échiquier. Lorsqu'on en sera à toutes les positions avec 32 pièces et moins, le jeu sera résolu. Difficile à croire, mais pas vraiment inconcevable.
Pour Q, on a déjà vu que le nombre d'éléments est infini, et donc forcément plus élevé que celui de E. Par contre, Q se dénombre sans problème. Ainsi, même si on ne peut énumérer toutes les fractions possibles, il est bel et bien inconcevable qu'un jour on en découvre une nouvelle.
C'est fort différent pour R. Non seulement son nombre d'éléments est infini, mais en plus il est innombrable. On peut concevoir qu'un jour on ait fait le tour de toutes les positions d'échecs, ou encore qu'on finisse par savoir tout de l'univers physique (car de dimension finie). On conçoit aussi qu'on ne puisse jamais écrire toutes les fractions (il y en a une infinité), mais rien n'empêche malgré tout de toutes les imaginer. Par contre, impossible de concevoir qu'un jour il ne reste plus de nombres réels à découvrir (car il en existe une infinité innombrable).
Et voilà. Je ne me serais jamais cru capable de mettre autant de temps sur un sujet pareil. Sans compter que j'ai même réussi à parler des échecs dans mon message, ce qui ramène l'enfilade sur le droit chemin!
